Concetti di astrometria fotografica

a cura Paolo Botton
aggiornato: 20.01.2013


L'uso delle formule che seguono permettono di calcolare la focale necessaria per inquadrare un determinato campo (o oggetto celeste), per calcolare quale dimensione avrà l'oggetto sul fotogramma, quale sarà la risoluzione per pixel e quindi stimare le dimensioni di un oggetto fotografato, sia esso un cratere, una nebulosa planetaria o una galassia.

Iniziamo calcolando le dimensioni in millimetri di un astro imprimibile su un'immagine fotografica, ripreso con uno strumento di focale F. L'operazione si esegue con un metodo geometrico, considerando una circonferenza con raggio pari alla focale, con l'obiettivo collocato al centro e l'immagine I dell'astro che si forma a distanza F, ossia sull'arco di circonferenza sotteso dall'oggetto inquadrato.

La dimensione angolare α è nota conoscendo i dati relativi all'astro da riprendere, reperibili nelle pagine di un buon atlante astronomico; ci sono quindi tutti i valori utili per impostare una semplice proporzione; si dice che: l'angolo giro (360°) è proporzionale alla dimensione angolare (α), pertanto la circonferenza (data da F × 2π) è proporzionale all'arco I sotteso dall'angolo α. In forma matematica...

360° : α = (F × 2π) : I

Le unità di misura da adottare sono i millimetri per le dimensioni lineari e gli arcosecondi (") per quelle angolari. Dalla proporzione si ricava che:

    (1)

Geometricamente parlando, possiamo quindi asserire che, per piccoli angoli (piccole dimensioni angolari, riferite agli oggetti celesti), la tangente è approssimabile con il valore dell'angolo in radianti. L'angolo giro vale 2π radianti, pertanto dalla precedente formula si deduce che il valore di 206265 secondi d'arco, derivando dal rapporto di un numero con 2π, corrisponde ad 1 radiante.
Vediamo di dimostrare la validità dell'approssimazione della tangente con il valore dell'angolo in radianti, ricorrendo ad valore angolare della Luna, avvalendoci del metodo trigonometrico.

Risulta immediato che l'immagine I è due volte il valore della tangente dell'angolo α, che rappresenta la dimensione angolare dell'oggetto. Si ha, quindi:

    (2)

Confrontiamo ora le due formule che ci danno la dimensione dell'oggetto sul piano focale; la Luna ha una dimensione angolare di 1865" (31,083', cioè 0,5°), il suo diametro sulla pellicola o sul sensore di una DSLR sarà:

Il risultato differisce di 2 × 10-3, decisamente trascurabile ai nostri fini.
Il valore 0,5180 deriva dal fatto che il calcolo della tangente è effettuato utilizzando i gradi, pertanto 1865" ÷ 3600 = 0,518° — dove 3600 sono i secondi d'arco per 1 grado.
In ultima analisi, la dimensione dell'immagine che si forma sul piano focale del telescopio dipende dalla lunghezza focale e dalla dimensione dell'astro sotto osservazione.
Ricordo solo che una focale è sempre da intendersi equivalente perché non è mai la focale dello strumento nativo, ma quella a cui è applicato un oculare, una Barlow o un qualunque sistema ottico che allunghi la focale della lente primaria.
Estremizzando, anche la semplice focheggiatura con uno SCT (ad esempio il C8), sposta il rapporto tra lo specchio primario e quello secondario, e quindi varia la focale dello strumento.
Se vogliamo essere precisi, dobbiamo tenere in considerazione anche questa variazione.

Spesso si tende a utilizzare riduttori di focale, e il più delle volte siamo costretti per specifiche necessità. Si deve però rammentare che passando da un f/8 ad un f/4, la galassia o alto oggetto deep-sky avrà solo metà della risoluzione lineare e coprirà un quarto dell'area del sensore. Quando si cerca di risolvere i dettagli più minuti permessi dal seeing del sito osservativo, un rapporto focale f/ veloce potrebbe causare problemi.
Per uscirne indenni, è necessario conoscere quale sia la risoluzione permessa dall'accoppiamento trelescopio-sistema di ripresa.
La risoluzione dei pixel dipende dalla lunghezza focale del telescopio e dalla dimensione dei pixel del sensore del sistema di ripresa (DSLR o CCD). Il più piccolo dettaglio risolvibile, in accordo con il teorema del campionamento di Nyquist-Shannon, dovrebbe coprire l'area di due pixel. Ottenere meno di questo valore implica sottocampionamento e perdita in dettaglio; per contro, un valori maggiori sconfinano nel sovracampionamento e tempi d'esposizione più lunghi del necessario.


sottocampionamento                       sovracampionamento

Partiamo dal presupposto che molti di noi vivono in luoghi dove il seeing non è ideale e che i dettagli più piccoli risolvibili con esposizioni più lunghe di alcuni secondi varino da 3 a 5 arcosecondi. Questo vuol dire che una risoluzione variabile da 1,5 a 2 arcosecondi per pixel sarà prossima a quella ottimale.
La risoluzione in pixel (intesa come numero di secondi d'arco rappresentati dal singolo pixel dell'immagine digitale) è calcolata con questa formula, che permette quindi di determinare la migliore combinazione telescopio-sistema di ripresa, giocando sulla focale:

    (3)

Conoscendo la risoluzione in secondi d'arco per pixel, è possibile individuare la dimensione del campo inquadrato durante la posa:

    (4)

Con queste due formule, conoscendo le dimensioni apparenti della Luna nel momento in cui si scatta la fotografia, noto il suo diametro in chilometri, si può trovare qual è la dimensione lineare di ciascun pixel dell'immagine (ad esempio per capire qual è stato il più piccolo cratere ripreso).

Faccio un esempio. La mia CANON EOS 450D presenta:
- dimensione del pixel pari a 5,2μm (cioè 0,0052mm oppure 52 × 10-7 metri)
- matrice dei pixel pari a 4272 × 2848 (cioè 12166656 pixel o 12,16 Mpixel)
- dimensioni del sensore di 22,2mm × 14,8 mm
Ammettendo di avere un telescopio con focale da 2000mm, si ottiene che la risoluzione in arcosecondi per pixel vale:



Supponendo di inquadrare la Luna piena in un fotogramma, sapendo che il diametro equatoriale vale 3476,2 km, poiché la dimensione apparente è di 1865", ogni secondo d'arco lunare equivale a 3476,2 km ÷ 1865" = 1,8639 km = 1863,9 m.
Il sensore ha una risoluzione per pixel di 0,53629" pertanto ogni singolo pixel rappresenta 1863,9 m × 0,53629" = 999,598m.

Ci sta la Luna sulla superficie del sensore? Ossia, qual è il campo inquadrato sul lato maggiore e minore del sensore?
Iniziamo con il lato maggiore:


Questo equivale a 2291,02 ÷ 60 = 38,18' (primi d'arco) al fuoco diretto dello strumento.

Sul lato minore del sensore si ottiene:


Questo equivale a 1527,35 ÷ 60 = 25,45' (primi d'arco) al fuoco diretto dello strumento.

Il sensore della CANON EOS 450D copre quindi un'area di cielo pari a 38,18' × 25,45'. La Luna, con il suo diametro apparente di 31,083" sarà inquadrata dal lato maggiore del sensore, ma non rientrerà completamente lungo il lato minore.
Quando si effettuano misure astrometriche bisogna solo ricordare — per quanto riguarda questo esempio specifico — che la Luna ha un diametro polare di 3472,0 km, ossia presenta un fattore di schiacciamento pari a 0,0012 — infatti 3476,2 km × (1 - 0,0012) = 3472,02856 km che è il diametro equatoriale.

E adesso, sfruttando le formule inverse di quelle esposte all'inizio della sezione, vediamo qual è la focale necessaria funzione della superficie sensibile e del campo che si desidera inquadrare.
la CANON EOS 450D ha il sensore di 22,2mm × 14,8 mm, con il Teorema di Pitagora mi calcolo la diagonale della superficie sensibile, che rappresenta la dimensione massima dell'immagine I riproducibile sul fotogramma.



Usando la (1), ricavo F e scrivo:



dove α è la dimensione angolare dell'oggetto da fotografare (in secondi d'arco). Nel caso della Luna, con α = 1865", F = 2950,8. Questo risultato indica che sarebbe necessario l'uso di una Barlow.

Ora calcoliamo qual è la dimensione angolare ripresa funzione della superficie sensibile e della lunghezza focale utilizzata.
la CANON EOS 450D ha il sensore di 22,2mm × 14,8 mm, con il Teorema di Pitagora mi calcolo la diagonale della superficie sensibile, che rappresenta la dimensione massima dell'immagine I riproducibile sul fotogramma (ad esempio una galassia di taglio e inclinata...).
NOTA: in genere limito la dimensione al lato minore del sensore e non al valore della diagonale, ma questa è una mia scelta.



Usando la (1), ricavo α e scrivo:



dove F è la focale dello strumento (con o senza interposizioni ottiche). Nel caso di un C8 fon focale = 2030mm, α = 2710,9", ossia 0,75° o 45'.

È anche possibile ricorrere alla (2), le cui inverse sono:




© Paolo B.
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